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求高中要用到的导数公式

2025-11-06 22:30:42 来源:网易 用户:姬君毅 

求高中要用到的导数公式】在高中数学的学习中,导数是一个重要的知识点,尤其在函数的单调性、极值、最值以及曲线的切线等问题中有着广泛的应用。虽然高中阶段对导数的要求相对基础,但掌握常见的导数公式是学好这部分内容的关键。以下是对高中阶段常用的导数公式的总结,便于同学们复习和记忆。

一、基本导数公式

函数表达式 导数
$ f(x) = C $(C为常数) $ f'(x) = 0 $
$ f(x) = x^n $(n为实数) $ f'(x) = nx^{n-1} $
$ f(x) = \sin x $ $ f'(x) = \cos x $
$ f(x) = \cos x $ $ f'(x) = -\sin x $
$ f(x) = e^x $ $ f'(x) = e^x $
$ f(x) = a^x $(a>0且a≠1) $ f'(x) = a^x \ln a $
$ f(x) = \ln x $ $ f'(x) = \frac{1}{x} $
$ f(x) = \log_a x $(a>0且a≠1) $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $

二、导数的运算法则

在实际应用中,常常需要对多个函数进行加减乘除或复合运算,因此掌握导数的运算法则非常重要。

运算类型 公式
加法法则 $ [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) $
减法法则 $ [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) $
乘法法则 $ [f(x) \cdot g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $
除法法则 $ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $($ g(x) \neq 0 $)
链式法则 $ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $

三、常见函数的导数举例

原函数 导数
$ f(x) = 5x^3 $ $ f'(x) = 15x^2 $
$ f(x) = \sin(2x) $ $ f'(x) = 2\cos(2x) $
$ f(x) = \ln(3x) $ $ f'(x) = \frac{1}{x} $
$ f(x) = (x^2 + 1)^3 $ $ f'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2 $
$ f(x) = e^{x^2} $ $ f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2} $

四、注意事项

1. 注意定义域:某些函数(如对数函数、根号函数等)在定义域内才可求导。

2. 熟练运用链式法则:对于复合函数,必须正确识别内外层函数并逐层求导。

3. 避免混淆导数与原函数:导数表示的是函数的变化率,而不是函数本身的值。

通过以上总结,可以清晰地看到高中阶段导数的核心内容和常用方法。建议同学们在学习过程中多做练习题,加深对导数概念的理解和公式的灵活运用。

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