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求二项式展开式中的常数项

2025-10-06 14:07:48 来源:网易 用户:谢利菁 

求二项式展开式中的常数项】在数学中,二项式展开是常见的代数问题之一。当我们需要找到某个二项式展开式中的常数项时,通常需要通过分析通项公式,找出指数为0的项。以下是对这一过程的总结,并以表格形式展示关键步骤与结果。

一、基本概念

二项式定理:

对于任意正整数 $ n $,有:

$$

(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

$$

其中,$\binom{n}{k}$ 是组合数,表示从 $ n $ 个元素中取 $ k $ 个的组合方式数。

常数项:

在展开后的多项式中,不含变量(如 $ x $)的项称为常数项。因此,我们需要找到使得所有变量的指数为0的那一项。

二、求解步骤

1. 确定二项式形式:

假设我们要求的是 $(a + b)^n$ 的展开式中的常数项,或者更一般的形式如 $(x + \frac{1}{x})^n$。

2. 写出通项公式:

通项为:

$$

T_k = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

$$

3. 设定变量指数为0:

如果含有变量 $ x $,则需令其指数为0,从而解出对应的 $ k $ 值。

4. 计算对应项:

将 $ k $ 代入通项公式,得到常数项的值。

三、示例分析

以 $(x + \frac{1}{x})^6$ 为例,求其展开式中的常数项。

步骤解析:

- 通项公式为:

$$

T_k = \binom{6}{k} x^{6 - k} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^k = \binom{6}{k} x^{6 - 2k}

$$

- 要使该项为常数项,则 $ 6 - 2k = 0 $,解得 $ k = 3 $

- 代入 $ k = 3 $ 得到常数项:

$$

T_3 = \binom{6}{3} = 20

$$

四、总结表格

项目 内容
二项式表达式 $(x + \frac{1}{x})^6$
通项公式 $T_k = \binom{6}{k} x^{6 - 2k}$
常数项条件 $6 - 2k = 0$ → $k = 3$
常数项值 $\binom{6}{3} = 20$

五、注意事项

- 不同的二项式可能涉及不同的变量或系数,需根据具体情况调整通项公式。

- 若题目中出现负号或分数,应特别注意符号的变化。

- 对于复杂的二项式,建议先化简再进行展开。

通过上述方法,可以系统地找到二项式展开式中的常数项。掌握这一技巧有助于解决更多相关的代数问题。

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