函数求导公式

【函数求导公式】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的函数求导公式对于数学学习和实际应用都具有重要意义。以下是对常见函数的求导公式的总结，并以表格形式呈现，便于查阅与记忆。

一、基本初等函数的导数

二、复合函数的导数（链式法则）

当函数由多个部分组成时，如 $ y = f(g(x)) $，其导数为：

$$

\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)

$$

例如：

- $ y = \sin(3x) $ 的导数为：$ \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) $

- $ y = (x^2 + 1)^5 $ 的导数为：$ 5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4 $

三、乘积与商的导数规则

1. 乘积法则

若 $ y = u(x) \cdot v(x) $，则：

$$

y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

$$

2. 商法则

若 $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $，则：

$$

y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}

$$

四、高阶导数

对一个函数连续求导多次，可以得到高阶导数。例如：

- 一阶导数：$ f'(x) $

- 二阶导数：$ f''(x) $

- 三阶导数：$ f'''(x) $

一般用符号 $ f^{(n)}(x) $ 表示第n阶导数。

五、隐函数求导

对于不能显式表示为 $ y = f(x) $ 的函数，如 $ F(x, y) = 0 $，可以通过两边对x求导并解出 $ \frac{dy}{dx} $ 来进行隐函数求导。

六、小结

函数求导是微积分的核心内容之一，掌握各类函数的导数公式有助于提高解题效率。通过理解基本导数规则、链式法则、乘积与商法则以及隐函数求导方法，可以更灵活地应对各种数学问题。建议结合实例反复练习，加深对导数概念的理解和应用能力。

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