等比数列前n项和公式是什么

【等比数列前n项和公式是什么】在数学中，等比数列是一种重要的数列类型，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。等比数列的前n项和公式是求解这类数列前n项总和的重要工具。

一、等比数列前n项和的基本概念

设一个等比数列的首项为 $ a $，公比为 $ r $，则该数列可以表示为：

$$

a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1}

$$

其中，第n项为 $ ar^{n-1} $。

要计算这n项的和，即：

$$

S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}

$$

我们需要使用等比数列前n项和的公式来快速求出这个和。

二、等比数列前n项和公式

根据数学推导，等比数列前n项和的公式如下：

当公比 $ r \neq 1 $ 时：

$$

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}

$$

或者也可以写成：

$$

S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

$$

这两个表达式是等价的，只是分子分母的位置不同。

当公比 $ r = 1 $ 时：

由于每一项都等于首项 $ a $，因此前n项和为：

$$

S_n = a \cdot n

$$

三、公式适用条件总结

四、示例说明

假设有一个等比数列，首项 $ a = 2 $，公比 $ r = 3 $，求前5项的和。

代入公式：

$$

S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 2 \cdot \frac{242}{2} = 2 \cdot 121 = 242

$$

验证：

数列为 $ 2, 6, 18, 54, 162 $，和为 $ 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242 $，结果正确。

五、小结

等比数列前n项和的公式是解决等比数列求和问题的核心工具。掌握公式及其适用条件，可以帮助我们快速计算数列的总和。无论公比是否为1，都可以通过相应的公式进行求解，避免逐项相加的繁琐过程。

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