等比乘等差的前n项和

【等比乘等差的前n项和】在数列的学习中，等比数列与等差数列是两个非常重要的基础内容。而当两者相乘时，即“等比乘等差”的形式，其前n项和的求法则更为复杂，需要特定的解题技巧。

本文将对“等比乘等差”的前n项和进行总结，并通过表格形式清晰展示其计算方法与结果。

一、基本概念

- 等差数列：每一项与前一项的差为常数，如 $ a, a+d, a+2d, \ldots $

- 等比数列：每一项与前一项的比为常数，如 $ b, br, br^2, \ldots $

当等差数列中的每一项分别与等比数列中的对应项相乘时，就形成了一个新的数列，称为“等比乘等差”的数列。

例如：

$$

a_1b_1,\quad (a_1 + d)b_2,\quad (a_1 + 2d)b_3,\quad \ldots

$$

二、求前n项和的方法

设等差数列为 $ a_n = a + (n-1)d $，等比数列为 $ b_n = b \cdot r^{n-1} $，则它们的乘积为：

$$

c_n = [a + (n-1)d] \cdot b \cdot r^{n-1}

$$

要求前n项和 $ S_n = \sum_{k=1}^{n} c_k $，通常采用错位相减法进行求解。

三、公式推导（简要）

设：

$$

S_n = a b + (a + d) b r + (a + 2d) b r^2 + \cdots + [a + (n-1)d] b r^{n-1}

$$

两边同时乘以公比 $ r $ 得：

$$

r S_n = a b r + (a + d) b r^2 + \cdots + [a + (n-1)d] b r^n

$$

两式相减：

$$

(1 - r) S_n = ab + d b r + d b r^2 + \cdots + d b r^{n-1} - [a + (n-1)d] b r^n

$$

进一步整理可得：

$$

S_n = \frac{ab(1 - r^n)}{1 - r} + \frac{d b r (1 - r^{n-1})}{(1 - r)^2} - \frac{[a + (n-1)d] b r^n}{1 - r}

$$

四、示例计算（具体数值）

五、总结

六、结语

“等比乘等差”的前n项和是高中数学中一个典型的综合应用问题，涉及等差与等比数列的结合。掌握其求解方法不仅有助于提高数列分析能力，也为后续学习更复杂的数列模型打下坚实基础。通过合理使用公式与技巧，可以高效地解决此类问题。

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