2024高考数学真题

【2024高考数学真题】2024年高考数学试卷在整体难度上保持了相对稳定，既注重基础知识的考查，也强调综合运用能力。试题结构清晰，题型分布合理，涵盖了函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计等核心知识点。以下是对2024年高考数学真题的总结与答案分析。

一、题型分布与难度分析

整体来看，选择题和填空题以基础计算为主，部分题目需要一定的思维灵活性；解答题则更注重逻辑推理和综合应用能力，尤其是立体几何与导数问题。

二、重点题型与典型例题解析

1. 函数与导数（解答题第17题）

题目： 已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x + a $，其中 $ a $ 为常数。若函数 $ f(x) $ 在区间 $ [0, 2] $ 上的最大值为 5，求实数 $ a $ 的取值范围。

解析：

先求导 $ f'(x) = 3x^2 - 3 $，令导数为零得极值点 $ x = \pm 1 $。在区间 $ [0, 2] $ 内，极值点为 $ x = 1 $。分别计算 $ f(0), f(1), f(2) $，代入最大值条件解得 $ a $ 的范围为 $ a \leq 4 $。

2. 数列与不等式（选择题第5题）

题目： 若数列 $ \{a_n\} $ 满足 $ a_1 = 1 $，$ a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n(n+1)} $，则 $ a_{10} = $ ?

解析：

观察递推公式，可发现 $ a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $，因此这是一个望远镜数列。累加后得 $ a_{10} = 1 + (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{9} - \frac{1}{10}) = 2 - \frac{1}{10} = \frac{19}{10} $。

3. 立体几何（解答题第20题）

题目： 如图，在四棱锥 $ P-ABCD $ 中，底面 $ ABCD $ 是矩形，$ PA \perp $ 平面 $ ABCD $，且 $ AB = 2 $，$ AD = 1 $，$ PA = 3 $，求异面直线 $ PC $ 与 $ BD $ 所成角的余弦值。

解析：

建立空间直角坐标系，设 $ A(0,0,0) $，则 $ B(2,0,0) $，$ D(0,1,0) $，$ C(2,1,0) $，$ P(0,0,3) $。向量 $ \vec{PC} = (2,1,-3) $，向量 $ \vec{BD} = (-2,1,0) $。利用向量夹角公式：

$$

\cos\theta = \frac{\vec{PC} \cdot \vec{BD}}{\vec{PC} \cdot \vec{BD}} = \frac{-4 + 1 + 0}{\sqrt{4+1+9} \cdot \sqrt{4+1}} = \frac{-3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{5}} = -\frac{3}{\sqrt{70}}

$$

三、答案汇总表

四、总结

2024年高考数学真题延续了往年的命题风格，注重对基础知识的掌握与灵活应用。考生在备考时应加强基础概念的理解，同时提升解题速度和准确率。对于中高难度题目，建议多做变式训练，增强逻辑思维与综合解题能力。

希望以上内容能为2024年高考数学复习提供参考与帮助。

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