欧拉公式推导全过程知乎（欧拉公式推导）

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1、复变函数论里的欧拉公式 e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。

2、它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

3、 e^ix=cosx+isinx的证明： 因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!…… 在e^x的展开式中把x换成±ix. (±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 …… e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓x^3/3!+x^4/4!…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 所以e^±ix=cosx±isinx 将公式里的x换成-x，得到： e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到： sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。

4、将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到： e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率 π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。

5、数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。

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