周期函数的函数表达式（周期函数的常用结论）

今天小编苏苏来为大家解答以上的问题。周期函数的函数表达式，周期函数的常用结论相信很多小伙伴还不知道,现在让我们一起来看看吧！

1、下面是周期函数性质 (1)若T(≠0)是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。

2、 (2)若T(≠0)是f(X)的周期，则nT(n为任意非零整数)也是f(X)的周期。

3、 (3)若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。

4、 (4)若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

5、 (5)T*是f(X)的最小正周期，且TT2分别是f(X)的两个周期，则 (Q是有理数集) (6)若TT2是f(X)的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(X)不存在最小正周期。

6、 (7)周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。

7、 编辑本段周期函数的判定定理1 若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C(K≠0)和1/ f(X)分别是集M和集{X/ f(X) ≠0，X }上的以T*为最小正周期的周期函数。

8、 [1] 证: ∵T*是f(X)的周期，∴对 有X±T* 且f(X+T*)= f(X)，∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C， ∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。

9、 假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’( 0＜T’＜T*)是K f(X)+C的周期，则对 ， 有K f(X+T’)+C=K f(X) +C K[f(X+T’)- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T’)- f(X)=0，∴f(X+T’)= f(X)， ∴T’是f(X)的周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾，∴T*也是K f(X)+C的最小正周期。

10、 同理可证1/ f(X)是集{X/ f(X) ≠0，X }上的以T*为最小正周期的周期函数。

11、 定理2 若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n)是集{X/aX+ n }上的以T*/ 为最小正周期的周期函数，(其中a、b为常数)。

12、 证: 先证 是f(ax+b)的周期 ∵T*是f(X)的周期，∴ ，有X±T*∈M，∴a(X )+b=ax+b ±T*∈M，且f[a(X+ T )+b]=f(ax+b±T*)=f(ax+b)∴ 是f(ax+b)的周期。

13、 再证 是f(ax+b)的最小正周期 假设存在T’(0＜T’＜ )是f(ax+b)的周期， 则f(a(x+T’)+b)=f(ax+b)，即f(ax+b+aT’)=f(ax+b)， 因当X取遍{X/X∈M,ax+b∈M}的各数时,ax+b就取遍M所有的各数， ∴aT’是f(X)的周期，但 ＜=T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾。

14、 定理3 设f(u)是定义在集M上的函数u=g(x)是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x)∈M，则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数。

15、 证: 设T是u=g(x)的周期，则 1有(x±T)∈M1且g(x+T)=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x)) ∴=f(g(x))是M1上的周期函数。

16、 例1 设=f(u)=u2是非周期函数，u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。

17、 同理可得:(1)f(X)=Sin(cosx)，(2)f(X)=Sin(tgx)，(3)f(X)=Sin2x，(4)f(n)=Log2Sinx(sinx＞0)也都是周期函数。

18、 例2 f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数(中学数学中已证)。

19、 例3 f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= (非周期函数)而f(g(x))=cos 是非周期函数。

20、 证:假设cos 是周期函数，则存在T＞0使cos (k∈Z) 与定义中T是与X无关的常数矛盾， ∴cos 不是周期函数。

21、 由例2、例3说明，若f(u)是周期函数，u= g(X)是非周期函数，这时f(g(x))可能是，也可能不是周期函数。

22、 定理4 设f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函数，TT2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍 数为它们的周期。

23、 证: 设 ((p•q)=1)设T=T1q=T2p则有: 有(x±T)=(x±T1q)=(x±T2p)∈M，且f1(x+T) ±f2(x+T)= f1(x+T1q) ±f2(x+T2p)= f1(X)±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X)是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。

24、同理可证:f1(X) 、f2(X)是以T为周期的周期函数。

25、 定理4推论 设f1(X) 、f2(X)……fn(X) 是集M上的有限个周期函数TT2……Tn分别是它们的周期，若， … (或T1，T2……Tn中任意两个之比)都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。

26、 例4 f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 数2π为周期的周期函数。

27、 例5 讨论f(X)= 的周期性 解:2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。

28、 5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。

29、 tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数。

30、 又 都是有理数 ∴f(X)是以TT2、T3最小公倍数(TT2、T3)= 为最小正周期的周期函数。

31、 同理可证: (1)f(X)=cos ; (2)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。

32、是周期函数。

33、 定理5 设f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，则f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。

34、 证 先证充分性: 若a1/a2∈Q，设TT2分别为f1(x)与f2(x)的最小正周期，则T1= 、T2= ，又 ∈Q 由定理4可得f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数。

35、 再证必要性(仅就f1(x)与f2(x)的差和积加以证明)。

36、 (1)设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T＞0， 使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin = -2sin s(a2x+ ) sin (1)。

37、 令x= 得2cos(a1x+ )，则 (K∈Z)。

38、(2) 或 C∈Z(3) 又在(1)中令 2sin(a2x+ )sin =-2sin =0 由(4) 由sin (5) 由上述(2)与(3)，(4)与(5)都分别至少有一个成立。

39、 由(3)、(5得 )(6) ∴无论(2)、(4)、(6)中那一式成立都有a1/a2 。

40、 (2)设sinaxcosa2x为周期函数，则 是周期函数。

41、 编辑本段非周期函数的判定 [1](1)若f(X)的定义域有界 例:f(X)=cosx( ≤10)不是周期函数。

42、 (2)根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数，若这样的T不存在则f(X)为非周期函数。

43、 例:f(X)=cos 是非周期函数。

44、 (3)一般用反证法证明。

45、(若f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X)是非周期函数)。

46、 例:证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数。

47、 证:假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T(≠0)，使对 ，a(x+T)+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X)是非周期函数。

48、 例:证f(X)= 是非周期函数。

49、 证:假设f(X)是周期函数，则必存在T(≠0)对 ，有(x+T)= f(X)，当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0, ∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾，∴f(X)是非周期函数。

50、 例:证f(X)=sinx2是非周期函数 证:若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T(＞0)，使对 ，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ(K∈Z)，又取X= T有sin( T+T)2=sin( T)2=sin2kπ=0，∴( +1)2 T2=Lπ(L∈Z+)，∴ 与3+2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。

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